Дифференциальные уравнения движения автомобиля

  • автор:

Уравнения движения колеса по недеформируемой поверхности при прямолинейном движении

Рассмотрим уравнения мощностей и сил, приложенных к каждому из этих колес.

Ведомое колесо

На ведомое колесо действуют нагрузка Gк и толкающая сила Ртол, приложенные в центре колеса. Со стороны опорной поверхности будет действовать нормальная реакция Rz, момент сопротивления качению Мf и сила сопротивления качению Рf , направленная противоположно вектору скорости V.

Если колесо будет двигаться с ускорением, тогда дополнительно возникнет инерционный момент

Мj к = ,

где Jк – момент инерции колеса относительно оси вращения;

— угловое ускорение колеса.

Рис 3.3 Ведомое колесо

Составим уравнения мощностей, считая, что подводимая к колесу мощность расходуется на преодоление сопротивления качению и разгон колеса. Тогда

N тол = Nf + Njк, (3.2)

где N тол – мощность, создаваемая толкающей силой Ртол , и равная

N тол = Ртол V;

Nf – мощность сопротивления качению, равная Nf = fGкV = Pf V;

Njк – мощность, вызванная инерционным моментом

Njк = Мjк × wк = Jк wк;

где wк – угловая скорость вращения колеса.

Подставив полученные выражения в уравнение (3.2), имеем

, (3.3)

Если правую и левую стороны уравнения (3.3) разделить на V, учитывая, что V = wк×rк , тогда получим уравнение сил, действующих на ведомое колесо

.

При равномерном движении колеса это уравнение запишется так

Ртол = Рf .

Ведущее колесо

Расчетная схема сил, действующих на ведущее колесо, приведена на рисунке 3.4. На ведущее колесо действуют крутящий момент Мк, который подводится к нему от двигателя через трансмиссию, нагрузка на колесо Gк и тяговая сила Рт, приложенная в центре колеса. Крутящий момент Мк, подведенный к колесу, вызывает тангенциальную реакцию опорной поверхности, направленную по вектору V, которую называют окружной силой Рк, равной Рк = ,. где rк – радиус колеса.

Рис.3.4 Ведущее колесо

Со стороны опорной поверхности действуют равнодействующая нормальных реакций Rz , сила сопротивления качению Рf и момент сопротивления качению Мf. При ускоренном движении возникает дополнительно инерционный момент Мj к.

Составим уравнение мощностей, учитывая, что подводимая к колесу через крутящий момент мощность расходуется на преодоление сопротивления качению колеса, создание тяговой силы и разгон колеса

Nк = Nf + Nт+ Nj к , (3.4)

где Nк – мощность, подводимая к колесу, равная Nк=Мк×wк;

Nт – тяговая мощность, равная Nт = Рт× V;

Мощности Nf = Pf×V и Nj к= Jк , что следует из вышеприведенного.

После подстановки этих значений в уравнение (3.4) и деления уравнения на скорость V, получим уравнение сил, действующих на ведущее колесо

Рк = Рf + Pт + . (3.5)

Если движение колеса равномерное, тогда , и уравнение (3.5) примет вид Pк = Рf + Pт . (3.6)

Из уравнения (3.6) имеем

Рт = Рк — Рf . (3.7)

Из анализа уравнения (3.7) следует, что тяговая сила зависит от свойств опорной поверхности и всегда меньше окружной силы, которая создается крутящим моментом двигателя.

Из анализа рис.3.4 видно, что окружная сила Рк и сила сопротивления качению Рf имеют противоположные направления. Их результирующая в точке А контакта колеса с дорогой Рк – Рf будет ограничена силой сцепления колеса с дорогой, равной j ×Rz ( j — коэффициент сцепления шины с опорной поверхностью). Следовательно, максимальное значение тяговой силы ограничено сцепными возможностями колеса с опорной поверхностью и определяется по формуле PT max = j ×Rz..

Тогда максимальная окружная сила, создаваемая крутящим моментом двигателя, которая ограничена сцепными возможностями шины, запишется

Рк max = Pт max + Pf = (j +f )×Rz .

Тормозное колесо

Расчетная схема сил, действующих на тормозное колесо, приведена на рис.3.5. На тормозное колесо действует тормозной момент Мтор, который вызывает тангенциальные реакции опорной поверхности. Равнодействующую этих реакций принято называть тормозной силой, равной .

Рис. 3.5 Тормозное колесо

Инерционный момент Мjк в этом случае будет действовать по ходу движения колеса вперед, а толкающая сила Ртол со стороны автомобиля будет направлена по вектору скорости.

С учетом направления сил уравнение мощностей, действующих на тормозное колесо, запишется Nтор + Nf = Nтол + Njк, (3.8)

где Nтор – мощность, создаваемая тормозным моментом, которая определяется по формуле Nтор= Мтор×wк = rк×wк = Ртор×V;

Nтол – мощность, создаваемая толкающей силой, приложенной к центру колеса

Nтол = Ртол×V;

Njк – мощность, создаваемая инерционным моментом колеса

Nj к = wк. После подставки этих значений в уравнение (3.8) и делением на V его правой и левой частей, получим уравнение сил, действующих на тормозное колесо Ртор + Рf = Pтол + .

Литература

1.Гришкевия А.И. Автомобили: Теория.-Минск: Вышэйш. Шк., 1986.-240с., с.-10…26.

2. Литвинов А.С., Фаробин Я.Е. Автомобиль: Теория эксплуатационных свойств.-М.: Машиностроение, 1984.-272 с., с.-21-38.

4. Характеристика источника энергии

Источником энергии на автомобиле является двигатель внутреннего сгорания (ДВС): карбюраторный, инжекторный или дизельный. Принципиальное различие в работе этих двигателей заключается в том, что в карбюраторном и инжекторном двигателях воспламенение горючей смеси происходит от энергии электрической искры, а в дизеле – от температуры сжатого воздуха.

В общем случае ДВС характеризуются энергоемкостью, динамичностью и экономичностью. Энергоемкость определяется зависимостью мощности двигателя Ne от угловой скорости вращения коленчатого вала wе. Динамичность описывается зависимостью крутящего момента двигателя Ме, от угловой скорости коленчатого вала wе. Экономичность определяется зависимостью удельного расхода топлива qе от угловой скорости коленчатого вала двигателя wе.

Основной характеристикой двигателя является его внешняя скоростная характеристика – графики зависимости мощности Ne, крутящего момента Ме, удельного расхода топлива qе от угловой скорости коленчатого вала wе при максимальной подаче топлива. Эта характеристика двигателя и описывает его энергоемкость, динамичность и топливную экономичность.

Внешняя скоростная характеристика вновь созданного двигателя определяется экспериментально на заводах по производству двигателей. Эту характеристику двигателей постоянно контролируют в процессе прозводства, определяя ее экспериментально на стендах выборочно из партии произведенных двигателей.

Внешняя скоростная характеристика двигателя представлена на рис.4.1

Выделим следующие характерные точки на этой характеристике:

Nmax – максимальная мощность двигателя (кВт);

wN – угловая скорость в рад/с, соответствующая максимальной мощности двигателя ( рад./с);

Мmax – максимальный крутящий момент двигателя (Нм);

wМ – угловая скорость, соответствующая максимальному крутящему моменту (рад./с);

МN – момент, соответствующий

максимальной мощности двигателя (Нм);

qN – удельный расход топлива в г/кВт×ч, соответствующий максимальной мощности.

Рис. 4.1 Внешняя скоростная характеристика двигателя

Введем два экспериментальных коэффициента, которые определяются из внешней скоростной характеристики двигателя,

кМ = — коэффициент приспосабливаемости по моменту;

кw = — коэффициент приспосабливаемости по частоте.

Для двигателей, применяемых на автомобилях, значения этих коэффициентов находятся в пределах км= 1,05…1,5 и кw = 1,5…2,5.

Для практических расчетов зависимости Ne= f (we) и Mе= f (we) математически описываются параболами третьего и второго порядков

(4.1)

. (4.2)

Неизвестными величинами в формулах (4.1) и (4.2) являются коэффициенты а, b, c.

Определим эти коэффициенты, рассмотрев режимы работы двигателя при wе=wN ,we=wM, а также исследовав функцию Ме= f (we) на экстремум.

Если зададим угловую скорость двигателя we=wN, тогда мощность, развиваемая двигателем, достигает максимального значения Ne=Nmax .

После подстановки этих условий в уравнение (4.1), имеем

. (4.3)

После сокращений получим 1 = а + b – c.

Если зададим угловую скорость двигателя we=wM, тогда крутящий момент двигателя достигнет максимального значения Ме = Мmax.

После подстановки этих условий в уравнение (4.2) имеем

,

или .

После преобразований, учитывая, что

имеем . (4.4)

Для получения третьего уравнения, необходимого для определения коэффициентов а, b, c, исследуем уравнение (4.2) на экстремум.

Для чего приравняем .

Взяв производную с уравнения (4.2), получим

Если , тогда wе =wм, поскольку при этой угловой скорости вращения коленчатого вала крутящий момент двигателя достигает максимума. После подстановки и элементарных преобразований имеем

Условие выше приведенной зависимости будет выполняться, если , или . (4.5)

В результате приведенных исследований получена система из трех уравнений с тремя неизвестными а,b,c.

а + b – c = 1

(4.6)

Решая эту систему, получим

, . (4.7)

Поскольку входящие в уравнения (4.7) коэффициенты кw и км являются экспериментальными, поэтому и коэффициенты а,b,c также являются экспериментальными. На заводах по производству двигателей экспериментально определяется внешняя скоростная характеристика, а затем по этой характеристике с учетом зависимостей (4.7) рассчитываются коэффициенты а,b,c. Каждый тип двигателей имеет характерные только для него значения коэффициентов а,b,c. Эти коэффициенты представлены в справочной литературе.

Для определения удельного расхода топлива в зависимости от угловой скорости коленчатого вала wе рекомендуется воспользоваться эмпирической зависимостью

,

где qN – удельный расход топлива при максимальной мощности в г/кВт×ч, который для дизельных двигателей принимается 210¸240 г/кВт×ч, а для карбюраторных двигателей — 310¸340 г/кВт×ч.

В табл. 4.1 приведены значения параметров двигателей.

Таблица 4.1 Параметры карбюраторных и дизельных двигателей

Заметим, что приведенные выше параметры двигателей определялись на стендовом оборудовании. В реальных условиях эксплуатации на автомобиле двигатель работает с другими впускной и выпускной системами, на нем установлено дополнительное оборудование, для привода которого затрачивается дополнительная мощность. Поэтому эффективная мощность, развиваемая двигателем на автомобиле, несколько меньшая. Однако, как показал анализ литературных источников, это уменьшение не превышает 15%.

Литература

1. Гришкевич А.И. Автомобили: Теория.- Минск: Вышэйш шк.,1986.-240 с., с.-28…30.

2. Кошарний М.Ф. Основи механіки та енергетики автомобіля. -К.: Вища шк., 1992.-200 с., с. –22-30.

3. Литвинов А.С., Фаробин Я.Е. Автомобиль: Теория эксплуатационных свойств.-М.: Машиностроение, 1984.-272 с., с.-28-31.

Контрольные вопросы

1.Какие типы двигателей применяются на автомобилях?

2. В чем принципиальное отличие карбюраторного и инжекторного двигателей от дизельного?

3. Что такое внешняя скоростная характеристика двигателя?

4.Каким образом определяются коэффициенты приспосабливаемости двигателей по частоте и крутящему моменту?

5.Каким образом рассчитываются коэффициенты а,в,с ?

Колесо и дорога. Силы действующие на колесо

Как будто все просто: вращение вала автомобильного двигателя, переданное через механизмы силовой передачи, заставляет вращаться колеса, колеса катятся по дороге; оси вращения при перекатывании колес перемещаются вперед; оси так или иначе связаны с рамой и кузовом автомобиля; значит, вместе с осями перемещается и кузов, и автомобиль. Однако такого описания недостаточно. Необходимо знать, какие силы действуют на колесо. Вот они:

  • вращающий момент Мк, заставляющий колесо вращаться и создающий тяговую силу Рк
  • сила тяжести, соответствующая нагрузке на колесо Gk
  • вертикальная реакция дороги Z и горизонтальная X, действующая в направлении движения (т.е. обратном действию силы Рк).

Тяговая сила Рк (в кг) равна подводимому к колесам вращающему моменту Мк (в кгм), деленному на радиус качения колеса (в м):

Рк = Мк / rк кг

Момент Мк зависит от крутящего момента двигателя Ме, передаточных чисел в системе силовой передачи и коэффициента полезного действия n силовой передачи, который для обычных автомобилей равен 0,9. Чем больше передаточные числа в коробке передач и в заднем мосту, тем больше подводимый к колесам вращающий момент:

Мк = Me*iк*i0*n кгм

где iк — передаточное число в коробке передач;
i0 — передаточное число главной передачи.

Рис. Слева — силы, действующие на колесо. Справа — дорога толкает колесо, ось перемещается вперед и толкает рессоры, рессоры толкают кузов.

Таким образом, тяговая сила на ведущих колесах автомобиля:

Рк = (Ме * iк * i0 * n) / rк, кг

Теперь можно высказать два на первый взгляд неожиданных положения:

  1. Движение колеса происходит под действием силы (реакции) X, т. е. дорога толкает автомобиль. Выше был приведен пример действия силы прыгуна на площадку и силы противодействия площадки. Точно так же и ведущее колесо автомобиля отталкивает от себя назад дорогу с силой Рк, а дорога противодействует этому силой (реакцией) X. Реакция X толкает вперед колесо, а оно через ось и подвеску толкает вперед весь автомобиль.
  2. В каждое отдельно взятое мгновение ближайшие к дороге точки колеса неподвижны, не перемещаются относительно поверхности дороги. Более того, если бы они перемещались, автомобиль не двигался бы, а колесо скользило бы по поверхности дороги. Происходило бы то, что называется на языке автомобилистов буксованием колеса.

Чтобы точки контакта колеса с дорогой были неподвижными, требуется хорошее сцепление шины с поверхностью дороги.

Сцепление шины с дорогой оценивают так называемым коэффициентом сцепления Ф («фи»).

Рис. Величина коэффициента сцепления зависит от состояния поверхности дороги.

Коэффициент сцепления равен отношению наибольшей величины реакции X (при проскальзывании, буксовании колеса) к величине реакции Z:

Ф = Х/Z

Величина коэффициента сцепления Ф колеблется в пределах 0,5—0,8 для сухих твердых дорог и 0,15—0,4 для обледенелых или мокрых. Из приведенного графика видно, как влияет состояние поверхности асфальтовой дороги на коэффициент сцепления.

Коэффициент сцепления на сухой дороге лишь незначительно изменяется в зависимости от изменений нагрузки на колесо, давления в шине и скорости движения, но на мокрой или обледенелой дороге с увеличением скорости происходит резкое уменьшение коэффициента сцепления, так как шина не успевает выдавливать влагу, находящуюся в области контакта шины с дорогой, и остающаяся пленка влаги облегчает скольжение шины.

Необходимое для движения сцепление шины с дорогой связано с нежелательным трением. Но о каком трении может идти речь, если соприкасающиеся точки неподвижны? При внимательном изучении ближайшего к поверхности дороги участка шины видим, что:

  1. шина сжимается, деформируется; происходит местное сжатие, а затем снова расширение шины; сжатие и расширение содержащегося в камере шины воздуха, взаимное перемещение частиц резины и частиц воздуха вызывает трение между ними;
  2. к точке контакта шины с дорогой все время подходят сжатые элементы шины, а от точки отрыва шины от дороги отходят, наоборот, растянутые; так как резина эластична и прочна, шина не разрывается, а только сжимается и растягивается в области контакта ее с дорогой, поэтому происходит некоторое скольжение отдельных частиц шины по поверхности дороги и, как следствие, трение;
  3. в углублениях поверхности дороги и рисунка протектора находится воздух; набегая на дорогу, участки протектора сплющиваются, резина заполняет углубления, выжимает из них воздух и как бы присасывается к поверхности дороги, и на отрыв шины от дороги требуется затрата дополнительной силы.

Рис. Работа колеса вызывает деформацию (изменение формы) шины.

Нетрудно сделать вывод, что описанные явления трения или сопротивления качению должны усиливаться при понижении давления в шине (так как при этом увеличиваются ее деформации) и при возрастании окружной скорости шины, а также при неровной или шероховатой поверхности дороги и при наличии заметных выступов и углублений в рисунке протектора шины.

Это на твердой дороге. А мягкую или не очень твердую дорогу, даже размягченный жарой асфальт, шина проминает и на это тоже приходится затрачивать часть тяговой силы.

Сопротивление качению колеса оценивается коэффициентом сопротивления качению f.

Коэффициент сопротивления качению равен отношению величины силы Pf, необходимой для качения колеса, к величине реакции Z:

f = Pт / Z

Величина коэффициента сопротивления качению f возрастает с уменьшением давления в шине, с увеличением скорости движения (при малых скоростях увеличение коэффициента f незначительно) и с увеличением неровности дороги. Изменение величины f ясно видно из рассмотрения графика зависимости коэффициента f от скорости движения и давления в шине (на асфальте). Ниже даны значения этого коэффициента для различных видов дорог для скорости 30—60 км/час и при давлении в шинах около 2,5 кг/см2.

Коэффициент сопротивления качению
Асфальт 0,015
Булыжник в хорошем состоянии 0,018
Былыжник в плохом состоянии 0,023
Брусчатая мостовая 0,017
Гравийное шоссе в хорошем состоянии 0,022
Гравийное шоссе в плохом состоянии 0,028
Ровная твердая проселочная дорога 0,023
Проселочная дорога среднего качества 0,026
Тяжелая проселочная дорога 0,03
Песок средней рыхлости 0,15
Снег утрамбованный 0,029

Так как сопротивление качению находится в прямой зависимости от величины коэффициента можно установить, что если для движения автомобиля по асфальту требуется определенная сила, то для движения по булыжнику и по гравийному шоссе нужна в 1,5 раза большая сила, для движения по проселку — в 2 раза, по песку — в 10 раз.

Из уравнения следует, что сила сопротивления качению равна:

Pf = Zf

или, так как реакция Z равна нагрузке на колесо,

Pf = Gкf

Подсчитав силы сопротивления качению для отдельных колес и сложив их, получаем силу сопротивления качению автомобиля. Хотя сопротивление качению передних, задних, левых и правых колес неодинаковое, без большой ошибки допустимо подсчитывать суммарную силу сопротивления качению для движения с определенной скоростью по уравнению:

Pf = Gaf, кг

где Ga — полный вес автомобиля в кг.

Рис. Коэффициент сопротивления качению увеличивается с возрастанием скорости и с понижением давления в шинах.

На преодоление сопротивления качению затрачивается энергия и нужно уметь вычислить расходуемую при этом мощность.

Прежде чем перейти к мощности, вспомним, что отрезок пути S, пройденный автомобилем в единицу времени t, называется скоростью движения:

V = S / t

Путь измеряют метрами или километрами, а время — секундами или часами; поэтому единицами измерения скорости будут либо метры в секунду (Vа м/сек), либо километры в час (Vа км/час), причем 1 м/сек = 3,6 км/час.

Мощность вычисляют как отношение работы (PS кгм) ко времени (t сек.); так как отношение пути ко времени выражает скорость, то мощность можно вычислить и как произведение силы на скорость:

N = PS/t = Pv кгм/сек

Значит, чтобы узнать мощность Nf в л.с., расходуемую на сопротивление качению, нужно помножить силу сопротивления Pf на скорость движения va в м/сек и разделить на 75, так как 1 л. с. соответствует механической работе в 75 кгм в 1 сек. Если скорость V выражена в км/час, нужно умножить полученное уравнение мощности на 1000 (метров в километре) и разделить на 3600 (секунд в часе):

Nf = (Ga*f*Va)/75 = (Gaf*Va*1000)/75*3600 = (Ga*f*Va)/270, л.с.

Для того чтобы автомобиль двигался, тяговая сила Рк на ведущих колесах должна быть меньше силы сцепления колес с грунтом (иначе колеса будут скользить, буксовать) и не меньше силы сопротивления движению, которую при езде по горизонтальной дороге с невысокой постоянной скоростью (когда сопротивление воздуха незначительно) можно считать равной силе сопротивления качению, иначе колеса не смогут вращаться и двигатель перестанет работать.

В зависимости от числа оборотов вала двигателя и от открытия дроссельной заслонки крутящий момент двигателя изменяется. Почти всегда можно сочетать различные значения момента двигателя и передаточных чисел в коробке передач таким образом, чтобы, как сказано выше, тяговая сила была меньше силы сцепления и не меньше силы сопротивления движению.

Для небыстрого движения по асфальту всем автомобилям требуется значительно меньшая сила тяги, чем они могут развить даже на высшей передаче, поэтому ехать нужно с прикрытой дроссельной заслонкой. Как говорят, автомобили в этом случае обладают большим запасом тяги.

На проселочной дороге дело несколько меняется. Легковые автомобили, если нет ухабов, могут ехать на высшей передаче, но при сильном нажатии на педаль подачи топлива. У грузовых автомобилей (с полной нагрузкой) разница между максимальной тяговой силой на высшей передаче и силой сопротивления качению на проселке очень невелика. Поэтому незначительное отклонение от скорости, соответствующей наибольшему крутящему моменту двигателя (40—32 км/час), вызывает необходимость включения следующей передачи (вспомним, что при уменьшении числа оборотов или подачи топлива крутящий момент уменьшается, а вместе с ним и тяговая сила).

Для движения легковых автомобилей по песку тяговой силы на прямой передаче вообще недостаточно, а на второй передаче движение возможно лишь с определенной скоростью (32—26 км/час) и при полной подаче топлива; практически нужно ехать на первой передаче. Автомобиль ГАЗ-51 способен идти по песку только на первой передаче, а ЗИЛ-150 — только на первой и второй передачах. Следует оговориться, что есть такие пески, по которым обычный автомобиль и на первой передаче проехать не может.

Сила сцепления на сухом асфальте больше тяговой силы на любой передаче у любого из рассматриваемых автомобилей. Но на мокром или обледенелом асфальте движение на пониженных передачах и трогание с места без буксования возможно на легковых автомобилях только при неполном открытии дроссельной заслонки, т. е. со сравнительно небольшим крутящим моментом двигателя; для грузовых автомобилей это относится к первой и второй передачам.

Уравнения движения. Занос автомобиля

Немка Екатерина II, приглашая математика Леонарда Эйлера в Санкт-Петербургскую Академию наук, и подумать не могла, что через 250 лет разработки Эйлера россияне будут покупать у немцев. А может так было задумано Госдепом, разрабатывать у нас, за наши деньги и нам же продавать?
Как бы то ни было, метод Эйлера, простейший численный метод решения дифференциальных уравнений, как таковой до сих пор не нашел своего применения в Минюсте, их ученым советом не апробирован и не утвержден. Хотя те, кто так говорит, сами ничего не знают.
Метод Эйлера, как и ему подобные методы, применяются в экспертизе ДТП. Поэтому эта статья полезна для автоэкспертов и адвокатов тем, что в ней просто и ясно показано, как работает модель движения автомобиля в специальных компьютерных программах реконструкции ДТП, типа PC-Crash. А это позволяет, при необходимости, сформулировать ряд вопросов для экспертного исследования или задать несколько неприятных вопросов эксперту.

Решаем простейшее дифференциальное уравнение

Адвокаты (про госавтоэкспертов точно не скажу), возможно, помнят из школьной программы, что такое производная функции. Производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в некоторой точке. Это ее геометрический смысл.
Если наша функция есть зависимость пути от времени, то производная – это зависимость скорости от времени. Вторая производная от пути по времени – это зависимость ускорения от времени.
Большей информации для задачи движения автомобиля нам не надо.

Для иллюстрации метода Эйлера рассмотрим некоторую функцию y(x)=x2. Ее график показан выше слева, это – парабола. Справа на рисунке – график производной этой функции y’(x)=2x.
Видно, что, например, при x=0 производная y’=0, или касательная параллельна оси абсцисс. А при x=2 производная y’=4, или в этой точке тангенс угла наклона функции y(x) равен 4, откуда угол наклона касательной составляет около 76 градусов. Если сама функция y(x) нам не известна, а известна только ее производная, то получить эту функцию можно интегрированием производной.
Если мы проинтегрируем производную аналитически, то получим формулу искомой функции y(x), а если численно – только ее график в виде набора точек. Давайте проинтегрируем численно методом Эйлера.
Полагаем, а это – граничные условия, что искомая функция начинается с точки x=0 и y=0. Наша задача – получить правую ветвь этой параболы.
Принимаем шаг интегрирования dx=0.5. Тогда в этой точке, при x=0, значение производной тоже равно нулю 2x=2×0=0, и мы попадаем в следующую точку x=0+0.5=0.5 и y=0+2x0x0.5=0. В этой второй точке x=0.5 значение производной уже равно 2х0.5=1, поэтому далее мы попадаем в третью точку с координатами x=0.5+0.5=1 и y=0+1x1x0.5=0.5. И так далее.
Табличка со значениями аргумента x и функции y, а так же график реальной функции y=x2 (красный цвет) и ломанной (синий цвет), полученной методом Эйлера показан на рисунке ниже.
Как видно из сравнения двух графиков, погрешность велика. Но и шаг интегрирования dx=0.5 был выбран большой. Если уменьшить шаг интегрирования, уменьшится и погрешность.
Это называется сходимостью метода – при уменьшении шага возрастает точность. Сравнивая два решения с разным шагом, можно сделать вывод о погрешности полученного решения. А сейчас, с современными компьютерами, проблем с выбором весьма малого шага интегрирования нет, так как человеку все равно, длился расчет 0.1 секунды или 0.01 секунды, лишь бы не часами.
Для примера на следующем рисунке показан результат интегрирования с шагом dx=0.01, и видно, что красная и синяя линии практически слились. Там же показана программа расчета: задаем начальную точку и шаг интегрирования, а далее в цикле для параметра i, пробегающего значения от 1 до 300 идет расчет точек ломаной по методу Эйлера.

Интегрируем дифференциальные уравнения движения автомобиля

Рассмотрим решение задачи движения полностью заторможенного автомобиля Ауди массой m=1185 кг, моментом инерции I=1566.4 кг ·м2, по горизонтальной поверхности с коэффициентом сцепления колес с поверхностью дороги f=0.7 (сухой асфальт). Скорость автомобиля в начальный момент v0=30 км/ч в направлении вправо на рисунке, скорость вращения w0=3c-1 (радиан в секунду). Такое движение может быть как в результате удара и тогда это движение после разделения автомобилей, либо занос в колее и т.п.
На рисунке ниже показано решение этой задачи в программе PC-Crash (рекомендованной Минюстом).
Табличка справа содержит параметры автомобиля, а слева – указанные начальные скорости. Точки на рисунке – координатная сетка с шагом 1м. В начальный момент времени центр тяжести автомобиля находится в точке с координатами x=0, y=0. Угол между продольной осью автомобиля и осью координат x (направлена вправо на рисунке) a=0.
Начальное значение времени положим t=0, шаг интегрирования по времени dt=0.001 сек. Мы не знаем значения ускорений центра тяжести автомобиля вдоль координатных осей и угловое ускорение в начальный момент времени, поэтому их значения полаем также равными нулю: acx=0, acy=0 и e=0.
Далее будем считать, что левой переднее колесо автомобиля – это колесо 1, правое переднее – 2, правое заднее – 3 и левое заднее – 4. С помощью таблички с параметрами автомобиля определим начальные координаты его колес: x1=1.25 м, y1=0.755 м, x2=1.25 м, y2=-0.755 м, x3=-1.26 м, y3=-0.755 м, x4=1.26 м, y4=0.755 м. Для расчетов нам понадобятся длины и углы с осью x радиус-векторов всех колес.
Для передних колес это R1=1.46 м, для задних – R2=1.469 м, и углы а1=0.543 рад (31.13 град), а2=-0.543 рад (-31.13 град), а3=3.68 рад (210.9 град), а4=2.6 рад (149 град). Все исходные данные приведены в листинге ниже.
Движение автомобиля в плоскости определяется вторым законом Ньютона в форме дифференциальных уравнений второго порядка (то есть содержащих вторые производные, или производные от производных), из которых два первых – для центра тяжести автомобиля (x и y – координаты центра тяжести), а третье – для вращения автомобиля вокруг его центра тяжести (а – угол между продольной осью автомобиля и координатной осью x). В запись этого закона Ньютона также входят сумма проекций сил сцепления всех колес на оси координат x и y, суммарный момент сил сцепления всех колес относительно центра тяжести, масса автомобиля и его момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Ну а далее тот самый цикл, на каждом шаге которого время прирастает на 0.001 секунды в интервале от 0 до 1.35 секунды, а координаты центра тяжести автомобиля и его курсовой угол постоянно пересчитываются исходя из приведенных выше дифференциальных уравнений движения в плоскости.
Внутри цикла, на i-м шаге, значения ускорений и скоростей автомобиля и координаты его колес принимаются из прошлого i-1 –го шага, и делается первый (черновой) расчет положения центра тяжести и курсового угла на текущем шаге (две последние строки на рисунке выше – формулы известны из школьного курса физики и являются результатом аналитического интегрирования дважды дифференциальных уравнений движения). Это необходимо для определения направления движения колес автомобиля, чтобы знать, в каком направлении приложить этим колесам векторы сил сцепления автомобиля с дорогой. Получается, что в таком алгоритме направление сил сцепления берется с запаздыванием по времени на величину шага интегрирования. Но это не страшно, так как шаг по времени очень мал.
Далее, как показано на листинге выше, исходя из текущего положения центра тяжести автомобиля и его курсового угла, путем сравнения глобальной системы координат и системы координат автомобиля (документ, как это делать, приложен к статье), определяются текущие координаты каждого колеса автомобиля. Сразу же вычисляются единичные векторы (орты, как это называется в аналитической геометрии) направления движения каждого колеса автомобиля, чтобы затем приложить силы сцепления в противоположном им направлениям.
Остается, как видно из листинга выше, вычислить величину силы сцепления с дорогой на каждом колесе исходя из ¼ массы автомобиля и коэффициента сцепления шин с дорогой.
При реальном расчете эксперт может принять и иные соотношения. Так же вычисляются проекции сил сцепления на каждом колесе на оси глобальной системы координат как произведение величины указанной силы на компоненты ортов направления движения колеса со знаком «минус».
После этого (в пятой строке) проекции всех сил на оси координат суммируются. Далее вычисляется момент этих сил относительно центра тяжести как векторное произведение сил сцепления на радиус-вектор каждого колеса.
Теперь остается вычислить из второго закона Ньютона реальное ускорение (если получится отрицательным, то это – замедление) центра тяжести автомобиля и его угловое ускорение на текущем шаге, из них реальные скорости центра тяжести в проекции на оси координат и скорость вращения автомобиля, и реальные координаты центра тяжести и курсового угла автомобиля на текущем шаге. Реальные потому, что выше, для определения направления сил сцепления на каждом колесе эти значения принимались их предыдущего шага интегрирования. Листинг показан выше.
Последнее, что осталось, это вычислить реальные положения колес на текущем шаге интегрирования, как показано на листинге выше.
Интегрирование закончено.

Проверяем результаты

Результат интегрирования в данном случае это таблица, содержащая 1351 строку, в столбцах которой содержатся все те величины, которые мы рассчитали, то есть имеющие в листингах нижний индекс i. Таблица сама по себе суду ничего не дает, хотя некоторые адвокаты, услышав про нее, требуют представить, что я с удовольствием делаю – представляю на электронном носителе. Но лучше визуализировать результат в виде расчетного положения автомобиля в разные моменты времени и траектории его колес. В программе выше мы не вычисляли положения углов автомобиля, поэтому представим в виде графика расчетные траектории всех 4-х колес автомобиля с координатной сеткой 1м.
На рисунке ниже траектория левого переднего колеса красная, правого переднего синяя, правого заднего фиолетовая, левого заднего черная.
И, наконец, самый главный вопрос – а что мы тут насчитали? Для ответа на него ниже масштабно совмещены рисунок из программы PC-Crash и результат нашего домашнего расчета. Сравнение показывает, что с помощью программы выше получен тот же самый результат, так как траектории колес полностью совпали.

Обсуждение результатов

Итак, приведенный пример расчета движения заторможенного автомобиля в заносе показал, что не боги горшки обжигают, и развеял мрак тайны специальных компьютерных программ. Это немаловажно как для экспертов, так и для адвокатов, так как, надеюсь, с учетом цикла статей по алгоритму CRASH3 и уравнениям движения им стало понятно, как это все работает. Понятно тем, кто это читает. А остальным?
Для чего может понадобиться такой «ручной» расчет? Он нужен, когда положения колес автомобиля после удара существенно отличаются от их положений до удара, когда одно колесо оторвано, когда колеса после удара смотрят в разные стороны, когда одно колесо или больше спущено, когда некоторые из колес заклинены деформированными частями автомобиля, а другие свободно или со скрежетом вращаются. И это только небольшое число случаев из тех, которые могут возникнуть в реальном ДТП, и не могут быть учтены той или иной компьютерной программой.
Выше рассмотрено движение полностью заторможенного автомобиля, поэтому модель шин была простейшей – силы сцепления колес были направлены против направления движения каждого колеса. А если в реальности по другому? Какая и почему использована модель в конкретном расчете?
Резюмируя, можно сказать снова и снова – лишними знания не бывают, и теорию знать полезно.

Уравнение движения машины в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

где

После подстановки получим

уравнение движения машины в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

Определение параметров машины (приведение сил и масс).

Рассмотрим изображенную на рис. 6.1 механическую систему и ее динамическую модель. Запишем для них уравнение изменения кинетической энергии. Кинетическая энергия:

  • для механической системы
  • для модели

Суммарная работа внешних сил:

  • для механической системы
  • для машины

Модель будет энергетически эквивалентна рассматриваемой механической системе, если правые и левые части уравнений изменения кинетической энергии для модели и для системы будут соответственно равны. То есть для левых частей выполняется условие Тс = Тм , а для правых — Aå c = Aå м. Для того чтобы второе равенство выполнялось в течение всего диапазона изменения обобщенной координаты, необходимо обеспечить не равенство интегралов, а равенство подынтегральных выражений dAå c =dAå м. Подставляя в равенства, записанные ранее выражения для кинетических энергий и работ получим:

для левых частей

для правых частей

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции машины

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента машины

Механические характеристики машин.

Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения.

Рассмотрим примеры механических характеристик различных машин.

  • Двигатели внутреннего сгорания (ДВС):
    • четырехтактный ДВС

Рис 6.2

o Индикаторная диаграмма — графическое изображение зависимости давления в цилиндре поршневой машины от хода поршня.

    • двухтактный ДВС

Рис 6.3

  • Электродвигатели
    • асинхронный электродвигатель переменного тока На диаграмме: Мдп — пусковой момент; Мдн — номинальный крутящий момент; Мдк или Мдmax — критический или максимальный момент; wдн — номинальная круговая частота вращения вала двигателя; wдхх или wдс — частота вращения вала двигателя холостого хода или синхронная. Уравнение статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части

o где Мд — движущий момент на валу двигателя,

o wд — круговая частота вала двигателя ,

o Статическая характеристика асинхронного двигателя, выражающая зависимость нагрузки от скольжения, определяется формулой Клосса

Рис 6.4

    • двигатель постоянного тока с независимым возбуждением

Рис 6.5

· Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

· где k = Мдн (wдхх — wдн ).

· В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

  • Рабочие машины
    • поршневой насос
    • Рис 6.6
    • поршневой компрессор

Рис 6.7

o Линии bc и ad — линии сжатия и расширения газа (воздуха) определяются параметрами газа (объемом, давлением и температурой) и в общем виде описываются уравнением политропы p× Vn = const , где n — показатель политропы ( 1< n < 0 ).

    • строгальный станок

Рис 6.8

o Механические характеристики определяют внешние силы и моменты, действующие на входные и выходные звенья, рассматриваемой механической системы со стороны взаимодействующих с ней внешних систем и окружающей среды. Характеристики определяются экспериментально, по результатам экспериментов получают регрессионные эмпирические модели, которые в дальнейшем используются при проведении динамических расчетов машин и механизмов.

Пример на определение параметров технологической машины(на приведение сил и масс ).

Дано: Кинематическая схема механизма поршневого насоса( li, j i ), Мд , Fc , mi , ISi ;

Рис 6.8

Рис 6.9

Определить: Мпрå , Iпрå =?

1. Определение сил веса Gi = mi ×g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

Простой и наглядный метод определения передаточных функций — графоаналитический метод планов возможных скоростей. При этом в произвольном масштабе строятся планы скоростей для рада положений цикла движения механизма. По отрезкам плана скоростей рассчитываются соответствующие передаточные функции по следующим формулам ( для машины, схема которой изображена на рис.6.8 ):

Передаточные функции:

По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.10 ).

Рис. 6.10

3. Определение суммарного приведенного момента Мпрå

Для определения суммарного приведенного момента необходимо просуммировать приведенные моменты от всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Приведенный момент от силы равен скалярному произведению вектора силы на вектор передаточной функции точки ее приложения, от момента — произведению момента на передаточное отношение от звена приложения момента к звену приведения. На рассматриваемую систему действуют силы веса звеньев Gi , сила сопротивления Fс и движущий момент Мд . Приведенный момент от этих сил рассчитывается по формуле:

Рис. 6.11

4. Определение суммарного приведенного момента инерции Iпрå .

Для определения суммарного приведенного момента инерции необходимо просуммировать приведенные моменты инерции от всех масс и моментов инерции подвижных звеньев рассматриваемой системы. Приведенный момент инерции от массы равен произведению массы на квадрат передаточной функции ее центра, от момента инерции — произведению момента инерции звена на квадрат передаточного отношения от этого звена к звену приведения. Инерционность рассматриваемой системы определяется массами звеньев 2 и 3 и моментами инерции ротора двигателя, редуктора, коленчатого вала, маховика и звена 2. В суммарный приведенный момент инерции входят как составляющие не зависящие от положения механизма, так и составляющие, зависящие от обобщенной координаты. Первые имеют постоянный момент инерции и относятся к первой группе звеньев, момент инерции других — переменный, они образуют вторую группу. Приведенный момент для рассматриваемой системы определяется по формуле:

Рис. 6.12

Таким образом выполнена поставленная задача — определены параметры динамической модели поршневого насоса: приведенный суммарный момент Мпрå и приведенный суммарный момент инерции Iпрå .

Лекция 7

Режимы движения машины.

В зависимости от того какую работу совершают внешние силы за цикл движения машины различают три режима движения: разгон, торможение и установившееся движение. Циклом называют период времени или период изменения обобщенной координаты через который все параметры системы принимают первоначальные значения.

рис. 7.1

  1. Разгон => Адц > Асц , Аå ц > 0;
  2. Установившееся движение => Адц = Асц , Аå ц = 0;
  3. Торможение (выбег) => Адц< Асц , Аå ц < 0.

Режим движения «пуск — останов».

Существует большое количество машин и механизмов: гидроподъемники, манипуляторы, механизмы управления метательными аппаратами, механизмы шасси, механизмы автоматических дверей и многие другие, исполнительное звено которых перемещается из начального положения в конечное. При этом в начале и в конце цикла движения исполнительное звено неподвижно. Такой режим движения механизма называется режимом «пуск-останов». Механизм начинает движение из состояния покоя, в конце цикла выходное звено механизма должно остановиться и зафиксироваться в заданном положении. Возможны три варианта остановки выходного звена:

Для динамической модели в конечном положении

безударная остановка или остановка с удержанием в конечном положении (рис. 7.4) w 1n = 0, e 1n = 0 .

В этом случае к рассмотренному выше условию w 1n = 0 , добавляется условие e 1n = 0. Для динамической модели в конечном положении

Таким образом при остановке с мягким ударом необходимо выполнить условие

при безударной установке и фиксации объекта в конечном положении нужно выполнить одновременно два условия

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *